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並び(4,3,2,5,1)は . ４という目印のものが１番目に . ３という目印のものが２番目に . ２という目印のものが３番目に . ５という目印のものが４番目に . １という目印のものが５番目に 並んでいることを表しています。 |
ばらばらにする
右下の１つを除いた他のピースをばらばらに入れ替えた後、 スライドするだけで元の位置に戻すのがこのパズル(１５ゲーム)の問題です。
どんなにばらばらに配置しても元の位置にもどせるのかというと、そうではありません。
元にもどせる配置と、元にもどせない配置があります。
どんな配置だと元にもどせるかを解説した後、 元にもどせる配置だけを作成するメソッドを示します。
置換
ものの並びの順番を入れ替える操作を(数学の用語では)置換と言います。
並べるものの一つ一つを数で表すことにすると、 例えば５つのものの並びは
- (1,2,3,4,5) や
- (1,3,5,4,2) や
- (4,3,2,5,1)
のように書けます。
並び(4,3,2,5,1)は
- ４という目印のものが１番目に
- ３という目印のものが２番目に
- ２という目印のものが３番目に
- ５という目印のものが４番目に
- １という目印のものが５番目に
並んでいることを表しています。
1番目の並びを２番目の並びに変える操作は置換の１つで (1,2,3,4,5) (1,3,5,4,2) と表します。
互換
置換のうち２つの要素を互いに入れ替えるものを互換といいます。
置換は互換の積で表すことができます。
(1,2,3,4,5)に互換(2←→3)を行うと(1,3,2,4,5) (1,3,2,4,5)に互換(2←→5)を行うと(1,3,5,4,2) と、2回の互換で上の置換ができました。
他の方法もあります。
しかしどの方法をとっても、互換の回数は偶数回か奇数回のどちらかになります。
偶置換、奇置換といいます。
１５ゲームでは 偶置換の問題は解けるが、奇置換の問題は解けません。
偶置換の問題だけを作るようにプログラムを作成します。
最初に正しい位置に配置した後 互換を偶数回行うことで問題を作成します。
1 void shokika()
2 {
3 int x, y, x2, y2, w, cnt;
4 ...
5 ...
6 for (cnt = 0; cnt < (tate*yoko*2); cnt++)
7 {
8 x = (int)(Math.random() * (yoko-1));
9 y = (int)(Math.random() * (tate-1));
10 if(Math.random() < 0.5)
11 {
12 x2 = x;
13 y2 = y + 1;
14 }
15 else
16 {
17 x2 = x + 1;
18 y2 = y;
19 }
20 w = ban[x][y];
21 ban[x][y] = ban[x2][y2];
22 ban[x2][y2] = w;
23 }
24 }